Streszczenie: W pracy przedstawiono zastosowanie metody Trefftza w rozwiązywaniu wybranych zagadnień odwrotnych mechaniki. Ideą metody Trefftza jest przybliżanie rozwiązania równania różniczkowego (bądź całkowego) rządzącego danym procesem, kombinacją liniową tzw. funkcji Trefftza, spełniających dane równanie w sposób ścisły. Współczynniki kombinacji liniowej wyznacza się w oparciu o znane warunki brzegowe. W pracy zastosowano metodę Trefftza do rozwiązania trzech stacjonarnych zagadnień odwrotnych przewodnictwa ciepła: identyfikacji temperatury i strumienia ciepła na brzegu obszaru, identyfikacji termicznych właściwości materiałowych (współczynnika przejmowania ciepła) oraz odtworzenia brakującej geometrii obszaru, w którym zachodzi proces. W pierwszym prezentowanym przykładzie metoda Trefftza posłużyła do wyznaczenia dwuwymiarowych rozkładów temperatury w trzech stykających się ze sobą ciałach o różnych parametrach fizycznych, tj. warstwie izolacyjnej, powierzchni grzejnej oraz czynniku chłodniczym.
W drugim zagadnieniu, obliczony uprzednio rozkład temperatury oraz strumień ciepła pozwoliły wyznaczyć współczynnik przejmowania ciepła na styku powierzchni grzejnej z czynnikiem chłodniczym. Metodę Trefftza zastosowano również w procedurze identyfikowania niedostępnej części brzegu ciała w warunkach ustalonej wymiany ciepła. Bezpośrednio metoda Trefftza posłużyła do wyznaczenia temperatury w całym ciele przy założeniu, że na dostępnej części jego brzegu znana jest temperatura oraz strumień ciepła. W dalszym etapie odtworzono nieznany brzeg poprzez sparametryzowanie go i wyznaczenie współczynników tejże parametryzacji. Przedstawione procedury obliczeniowe oparte na metodzie Trefftza okazały się niezwykle skuteczne odznaczając się dużą dokładnością, stabilnością numeryczną i – co warto podkreślić – niewielkim kosztem obliczeniowym.
Abstract: The paper focuses on applications of the Trefftz method to three inverse problems of steady-state heat conduction in which (i) the temperature and heat flux, (ii) the thermal properties of a material (heat transfer coefficient) and (iii) the unknown part of the domain boundary were being sought. Two types of the Trefftz functions were used in calculations: those for the Laplace equation and the Trefftz functions for a stationary energy equation with a parabolic velocity profile. The computational procedures used for the considered inverse problems turned to be highly effective, accurate and numerically stable.
B I B L I O G R A F I A[1] Grysa K, Funkcje Trefftza i ich zastosowania w rozwiązywaniu zagadnień odwrotnych, Politechnika Świętokrzyska, Kielce 2010.
[2] Hadamard J., Lectures on the Cauchy problem in linear partial differential equations, Yale University Press, New Haven 1923.
[3] Ciałkowski M.J., Frąckowiak A., Funkcje cieplne i ich zastosowanie do rozwiązywania zagadnień przewodzenia ciepła i mechaniki, Politechnika Poznańska, Poznań 2000.
[4] Herrera I., Trefftz method: A general theory, Numerical Methods for Partial Differential Equations, vol. 16, 2000.
[5] Hożejowska S., Maciejewska B., Piasecka M., Zastosowanie funkcji Trefftza do wyznaczania pól temperatury i współczynnika przejmowania ciepła przy wrzeniu w przepływie, Politechnika Świętokrzyska, Kielce 2014.
[6] Maciąg A., Funkcje Trefftza dla wybranych prostych i odwrotnych zagadnień mechaniki, Politechnika Świętokrzyska, Kielce 2011.
[7] Zieliński A. P., Metoda T- kompletnych funkcji i jej zastosowanie do zagadnień sprężystych i sprężysto- plastycznych, Politechnika Krakowska, Kraków 1989.
[8] Hożejowska S., Homotopy perturbation method combined with Trefftz method in numerical identification of temperature fields in flow boiling, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, vol. 53, 2015.
[9] Hożejowska S., Maciejewska B., Poniewski M.E., Numerical analysis of boiling two-phase flow in mini- and microchannels, w Encyclopedia of Two-Phase Heat Transfer and Flow I Fundamentals and Methods, vol. 4, World Scientific, 2015.
[10] Piasecka M., Wrzenie w przepływie na powierzchniach rozwiniętych minikanałów, Politechnika Świetokrzyska, Kielce 2014.
[11] Hożejowski L., Trefftz method for an inverse geometry problem in steady-state heat conduction, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, artykuł w druku, 2016.
[12] Hożejowski L, A Trefftz approach to a two-dimensional boundary detection problem in steady-state heat conduction, Proceedings of the Numerical Heat Transfer 2015, Warsaw, Poland, 2015. 