Streszczenie: W pracy poddano analizie belką Timoshenki, spoczywającą na dwuparametrowym podłożu sprężystym. Wyprowadzone zostało różniczkowe równanie równowagi dynamicznej belki ściskanej zachowawczą siłą osiową oraz została przeprowadzona analiza rozwiązania tego równania, w zależności od wzajemnych relacji między jego współczynnikami. Wyprowadzona została formalnie ścisła macierz sztywności podstawowego elementu belkowego, a rozwijając otrzymaną macierz w szereg potęgowy, względem argumentów występujących w niej funkcji, wyznaczona została macierz sztywności elementu pracującego z udziałem sprężystego podłoża i stałej siły osiowej. Wykazano, że macierze MES, otrzymane przy wykorzystaniu tzw. fizycznych funkcji kształtu, stanowią liniowe przybliżenie macierzy formalnie ścisłej. Wyznaczony został również wzór na siłę krytyczną dla belki swobodnie podpartej, współpracującej z podłożem sprężystym.
Abstract: The paper presents the analysis of Timoshenko beam on two-parameter elastic foundation. The differential equation for dynamic equilibrium of beam compressed by conservative axial force has been derived and its solution has been analyzed depending on
mutual relationships between its coefficients. The exact stiffness matrix of the basic beam element has been derived formally, and by the power series expansion of this matrix in relation to the arguments of the functions occuring in it the stiffness matrix of working element with elastic foundation and constant axial force has been determined. It has been demonstrated that the FEM matrices obtained with the use of so-called physical shape functions are the linear approximation of the formally exact matrix. In addition, a formula for critical force is found for the case of free supported beam on elastic foundation.
B I B L I O G R A F I A[1] El-Mously M., 1999. Foundamental frequencies of Timoshenko beams mounted on Pasternak foundation. Journal of Sound and Vibration 228 (2), 452–157.
[2] Fan S.C., Zheng D.Y., 2002. Stability of a cracked Timoshenko beam column by modified Fourier series. Journal of Sound and Vibration 264, 475–484.
[3] Gilewski W., Obara P., 2007. Ścisłe i uściślone macierze sztywności belki Timoshenki spoczywającej na sprężystym podłożu. Proceedings Conference, Bratysława, 69–72.
[4] Gryczma ski M., Jurczyk P., 1995. Modele podłoża gruntowego i ich ocena. Inżynieria i Budownictwo 2, 98–104.
[5] Jemielita G., Szcześniak W., 1992. Sposoby modelowania podłoża. Prace Naukowe Politechniki Warszawskiej 120, Warszawa.
Song Xi, Soi-Rong Li, 2006. Thermal buckling and post-buckling of pinned-fixed Euriel-Bernoulli beams on an elastic foundation. Mechanics Research Communications 34, 164–171.
[6] Vlasow V.Z., Loentiev U.N., 1966. Beams, plates and shells on elastic foundation. Israel Program for Scientific Translation, Jerusalem.
[7] Yokoyama T., 1995. Vibration analysis of Timoshenko beam-columns on two – parameter elastic foundations. Computers and Structures 61, 6, 995–1007. 
Pełny tekst