Publikacje

Streszczenie:

W artykule omówiono jednowymiarowy model matematyczny jednowymiarowego zagadnienia termosprężystości w płycie dwuwarstwowej. Podstawowe równania w postaci bezwymiarowej zawierają zarówno temperaturę, jak i przemieszczenie. Zakłada się, że ogólne rozwiązania równań jednorodnych (równania przemieszczenia i temperatury) są kombinacją liniową funkcji Trefftza. Poszczególne rozwiązania tych równań wyrażane są następnie odpowiednio skonstruowanymi sumami pochodnych rozwiązań ogólnych. Następnie definiuje się operatory odwrotne do tych występujących w równaniach jednorodnych i stosuje się je do prawej strony równań niejednorodnych. W ten sposób uzyskuje się dwa systemy funkcji, spełniające ściśle całkowicie sprzężony układ równań. Aby określić nieznane współczynniki tych kombinacji liniowych, konstruowany jest funkcjonał opisujący błąd spełnienia warunków początkowych i brzegowych przez rozwiązania przybliżone. Minimalizacja funkcjonału prowadzi do przybliżonego rozwiązania rozważanego problemu. Rozwiązania dla jednej warstwy i dla płyty dwuwarstwowej przedstawiono graficznie i przeanalizowano, ilustrując możliwe zastosowanie metody. Nasze wyniki pokazują, że zwiększenie liczby funkcji Trefftza prowadzi do zmniejszenia różnic między kolejnymi przybliżeniami.

Abstract:

This paper discusses a 1D one-dimensional mathematical model for the thermoelasticity problem in a two-layer plate. Basic equations in dimensionless form contain both temperature and displacement. General solutions of homogeneous equations (displacement and temperature equations) are assumed to be a linear combination of Trefftz functions. Particular solutions of these equations are then expressed with appropriately constructed sums of derivatives of general solutions. Next, the inverse operators to those appearing in homogeneous equations are defined and applied to the right-hand sides of inhomogeneous equations. Thus, two systems of functions are obtained,
satisfying strictly a fully coupled system of equations. To determine the unknown coefficients of these linear combinations, a functional is constructed that describes the error of meeting the initial and boundary conditions by approximate solutions. The minimization of the functional leads to an approximate solution to the problem under consideration. The solutions for one layer and for a two-layer plate are graphically presented and analyzed, illustrating the possible application of the method. Our results show that increasing the number of Trefftz functions leads to the reduction of differences between successive approximations.

B I B L I O G R A F I A1. Bufler, H. Theory of Elasticity of a Multilayered Medium. J. Elast. 1971, 1, 125–143. [CrossRef]
2. Bahar, L.Y. Transfer Matrix Approach to Layered Systems. J. Eng. Mech. Div. 1972, 98, 1159–1172. [CrossRef]
3. Bahar, L.Y.
Hetnarski, R.B. Coupled Thermoelasticity of a Layered Medium. J. Therm. Stress. 1980, 3, 141–152. [CrossRef]
4. Thangjitham, S.
Choi, H.J. Thermal Stresses in a Multilayered Anisotropic Medium. ASME J. Appl. Mech. 1991, 58, 1021–1027. [CrossRef]
5. Chen, T.
Jang, H.
Tseng, A.A. Transient Thermal Stresses in a Multilayered Anisotropic Medium. ASME J. Appl. Mech. 1995, 117, 1067–1069. [CrossRef]
6. Cetinkaya, C.
Li, C. Propagation and Localization of Longitudinal ThermoelasticWaves in Layered Structures. J. Vib. Acoust. 2000, 122, 263–271. [CrossRef]
7. Lee, Z.-Y. Coupled Problem of Thermoelasticity for Multilayered Spheres with Time-Dependent Boundary Conditions. J. Mar. Sci. Tech. 2004, 12, 93–101
8. Hosseini Zad, S.K.
Komeili, A.
Eslami, M.R.
Fariborz, S. Classical and Generalized Coupled Thermoelasticity Analysis in One-Dimensional Layered Media. Arch. Appl. Mech. 2012, 82, 267–282. [CrossRef]
9. Koo, J.
Valgur, J. Analysis of Thermoelastic Stresses in a Layered Plates. In Proceedings of the 6th International DAAAM Baltic Conference. Industrial Engineering, Tallinn, Estonia, 24–26 April 2008.
10. Zamani Nejad, M.
Rastgoo, A.
Hadi, A. Effect of Exponentially-Varying Properties on Displacements and Stresses in Pressurized Functionally Graded Thick Spherical Shells with Using Iterative Technique. J. Solid Mech. 2014, 6, 366–377.
11. Vatulyan, A.
Nesterov, S.
Nedin, R. Regarding some Thermoelastic Models of “Coating-Substrate” System Deformation. Contin. Mech. Thermodyn. 2020, 32, 1173–1186. [CrossRef]
12. Durbin, F. Numerical Inversion of Laplace Transforms: An Efficient Improvement to Dubner and Abate’s Method. Comput. J. 1974, 17, 371–376. [CrossRef]
13. Pawar, S.P.
Bikram, J.J.
Kedar, G.D. Thermoelastic Behaviour in a Multilayer Composite Hollow Sphere with Heat Source. J. Solid Mech. 2020, 12, 883–901. [CrossRef]
14. Serpilli, M.
Dumont, S.
Rizzoni, R.
Lebon, F. Interface Models in Coupled Thermoelasticity. Technologies 2021, 9, 17. [CrossRef]
15. Qin, Q.H. The Trefftz Finite and Boundary Element Method
WIT Press: Southampton, UK
Boston, MA, USA, 2000.
16. Li, Z.C.
Lu, T.T.
Hu, H.Y.
Cheng, A. The Trefftz and Collocation Methods
WIT Press: Southampton, UK, 2008.
17. Macia˛g, A. Trefftz Functions for Some Direct and Inverse Problems of Mechanics
Kielce University of Technology Publishers: Kielce, Poland, 2009. (In Polish)
18. Grysa, K. Trefftz Functions and Their Applications in Solving the Inverse Problems
Kielce University of Technology Publishers: Kielce, Poland, 2010. (In Polish)
19. Macia˛g, A. Trefftz Function for a Plate Vibration Problem. J. Theor. Appl. Mech. 2011, 49, 97–116.
20. Grysa, K.
Macia˛g, A. Solving Direct and Inverse Thermoelasticity Problems by Means of Trefftz Base Functions for Finite Element Method. J. Therm. Stress 2011, 34, 78–93. [CrossRef]
21. Grysa, K.
Macia˛g, A.
Adamczyk-Krasa, J. Trefftz Functions Applied to Direct and Inverse Non-Fourier Heat Conduction Problems. J. Heat Transf. 2014, 136, 091302. [CrossRef]
22. Maciejewska, B.
Piasecka, M. An Application of the Non-Continuous Trefftz Method to the Determination of Heat Transfer Coefficient for Flow Boiling in a Minichannel. Heat Mass Transf. 2016, 53, 1211–1224. [CrossRef]
23. Frackowiak, A.
Cialkowski, M. Application of Discrete Fourier Transform to Inverse Heat Conduction Problem Regularization. Int. J. Numer. Meth. Heat Fluid Flow 2018, 28, 239–253. [CrossRef]
24. Grysa, K.
Macia˛g, A. Identifying Heat Source Intensity in Treatment of Cancerous Tumor Using Therapy Based on Local Hyper-thermia—The Trefftz method approachs. J. Therm. Biol. 2019, 84, 16–25. [CrossRef]
25. Ciałkowski, M.J. Trefftz Functions as Basic Functions of FEM in Application to Solution of Inverse Heat Conduction Problem. Comp. Ass. Mech. Eng. Sci. CAMES 2001, 8, 247–260.
26. Cialkowski, M.J.
Frackowiak, A. Thermal and related functions used in solving certain problems of mechanics, Part I. Solving some differential equations with the use of inverse operator. In Modern Problems of Technics
University of Zielona Góra Publishers: Zielona Góra, Poland, 2003
Volume 3, pp. 7–70.
27. Macia˛g, A. The Usage of Wave Polynomials in Solving Direct and Inverse Problems for Two-Dimensional Wave Equation. Commun. Numer. Meth. Eng. 2011. [CrossRef]
28. Sharma, J.N.
Pal, M.
Chand, D. Three-Dimensional Vibration Analysis of a Piezothermoelastic Cylindrical Panel. Int. J. Eng. Sci. 2004, 42, 1655–1673. [CrossRef]
29. Abrate, S. Impact on Composite Structures
Cambridge University Press: Cambridge, MA, USA, 1998
p. 289.
30. Sfarra, S.
López, F.
Sarasini, F.
Tirillò, J.
Ferrante, L.
Perilli, S.
Ibarra-Castanedo, C.
Paoletti, D.
Lampani, L.
Barbero, E.
et al. Analysis of damage in hybrid composites subjected to ballistic impacts: An integrated non-destructive approach. In Handbook of Composites from Renewable Materials
Scrivener Publishing: Beverly, MA, USA, 2017
Chapter 8
pp. 175–210. [CrossRef

POWRÓT

Strona główna > Publikacje

Trefftz Method of Solving a 1D Coupled Thermoelasticity Problem for One- and Two-Layered Media